高等数学计算方法讲解教学(上海交通大学内部课程)

我们学了这门课程，到底有什么用？那么，实际上，从我们大学当中所学到的一些数学上的一些知识来解决一些数学问题。

我们会发现很多问题，在用了大学里面那些知识以后，实际上还是无法解决的。举一些非常简单的例子，

那比方说你一个方程求根问题，什么方程求根呢？你比方说代数方程。你x^2+ax+b=0这个大家会的，

为什么我有个求根公式？那么这个方程我们一般称为是一个二次的代数方程。如果这个次数更高呢？比方说三次，四次，五次以上呢？

三次我们还可以求五次以上。没有用一个方法来找出它的精确点。

所以在这种前提之下，我们只能是求它的一个什么呢近似的解，那这是一个非常简单的例子。

第二个比方说，我们在高等数学里面学过一个定积分。啊，学过一个定积分，这个定积分的一个计算。

而对某些问题，实际上我们无法求出的，因为高等数学里面这个定积分的话呢，它是一个前提，那就是一个函数的原函数，

我必须要求用一个初等函数来表示出来。才能借助于牛顿柯特斯公司，我可以从它里解出来，但如果我这个。

原函数无法用初等函数来表示呢，那我就没办法解了。一个非常简单的例子，那就是3x比3x，它的原函数就无法用一个初等函数来表示出来。

所以在这个前提之下，你要算这个定积分是无法求出来的，当然那么这是一个非常简单高等数学里面，我们就碰到的。还有比方说，我们高等数学里面还可以学一个常平方方程。

常用方程能找出它的一个解析解，或者说找出它的一个近似解的时候，实际上只能局限在某些方程，

我们所学的比方说线性方程。常系数方程线性，常系数方程对某一些特殊的非线性方程才可以求出它的近距离，

而绝大部分我们是无法得到它的近距离的。所以在这样的前提之下，我们也有必要要找出它的一些近似解啊，

近似解出来，所以这个计算方法或者说数值分析我们所求的。啊，实际上从我们数学这个角度来讲，主要是求一些数学问题的一个近似点。找出它的一些近似解出来，

那这是一个特点啊，这是一个特点，那么还有很多在工程上面很多问题。那么很简单的，

比方说我们有工工程上的有些量，可能它得到的是某些离散点上的一个词。比方说我们测量。

非常简单的一个例子，比方说我要测量一个。海大海的一个，水下的一个温度，那么我不可能每一点的温度我都可以测出来。而我指的是什么呢？各一段距离，我测一个温度。

水下的温度，然后我就设法要求用这些已知的测量出来的值。我想得到其他的位置上的这些温度，那怎么办呢？

那么一个这个问题，我们用数学来描述的话，那就是我假设一个温度，我可以用一个函数温度，随着一个深度。

海的一个深度，我可以用一个函数表示出来的话，那么它仅仅给出的是什么呢？给出的是某些点上的函数值，而我要用这些已知点上的函数值，我想来预测其他点上的函数值。

那又怎么处理呢？那么这个问题的话呢？从数学角度来讲，那么我们就规则为一个所谓差值与倍径的问题。

那产生不一定的问题，所以这个数字分析或计算方法从数学角度，那么我们求数学问题的经世界，那么对工程上来讲，那么实际上。

也是求它的一些近似值啊，也是求它的一个近似值，那么实际应用，我刚才讲了，我们要求理论与实践相结合，要借助一个计算机来使用的，

借助计算机来进行测量。那么，这是一个由于计算方法的特点，是算问题的一个近似解。那么，由于是近似，它必然存在误差。

那么一个问题就提出来了，比方说我给出一个求这个数学问题的一个近似解，那么由于它的误差的存在。

那我们怎么去来衡量你这个方法的好坏，也就是说我得到的近似解与精确解。它的一个误差要就小了，

或者说我怎么来衡量它的一个误差呢？那么这也是我们要考虑这些问题当中的一个首要的一个。

选择选择一个讨论的一个问题，那就是一个误差的问题啊，误差的问题。因此，我们在这门课当中呢，

我们所讨论的那就是给定一些数学模型，然后去构造一些算法。来进行讨论，这就是我们这门课的一个特点。

我们并不是说对这门课来讲，对所有的数学问题我都来讨论，而是对工程上面我们经常所碰到的最最简单的一些数学模型。

注意是数学模型，不是工程上面的这些模型，是数学模型来进行。

构造。计算它的近似解的一些方法。那么这里面我们牵涉到哪些内容呢？我们这本课程上面主要牵涉到以下的几个内容。

模型第一个线性代数方程组。线性代数方程组，大家在线性代数当中已经学过，我们怎么去求解？

比方说。克莱姆法则比方说消元方法，我们都可以求。啊，可以求那么，这是我们要讨论的，那么如果我这个问题非常之大，

因为工程上碰到的。这样一类模型，它方程的阶数是非常的之大，那么这时候我用常规的方法是否可行呢？

那么，我们在计算方法当中就要来它加以讨论啊，这是一个模型，第一个模型那么线性代数方程组，我们除了这这样一种。

方法来进行求解以外，那么我们还会构造其他的一个方法，通过一些必进的方法来进行求解，通过一些极限的方法来进行求解。

那这就是我们所构造的一个所谓线性代数方程组的一个迭代方法，那那也就是说第一个模型那就是线性代数方程组的一个计算。

这是第一个。第二个模型的话呢，我们要考虑的就是给出一些离散的点上的数据，我如何来构造？

出这样一个函数的一个近似表达式，那么这里我们是牵扯两个方面的内容，一个所谓是一个差值问题。

另外一个所谓是一个背景问题，所以这个模型我们也有两种方法来进行加以讨论。

那么，第三个问题，那就是一个数字积分，也就是说，我们求定积分，我怎么来进行计算？

那么，由于得不到。表达式的一个呃背景函数一个。原函数的表达式，或者说我们给出的这个倍积函数，

仅仅是一些离散点上的值，那么这时候我们要算定积分应该怎么算？那这时候我们就采用的就是一个数字积分的问题，

那当然还有所谓数字微分之类的，那么刚才我已经提到我们数字积分，主要不讲我们主要是讲数字积分。

这是第二呃第三个模型的问题，要进行讨论的，那么第四个模型的话呢？我们讨论的是一个。

方程组啊，方程非线性方程单个方程。这个先呃非线性方程，它可以是代数方程，所谓代数方程呢，

就是一个函数fx是一个多项式的形式。这是一个。那还有所谓是一个超越方程，那么一般的方程，

比方说x+tanx=0啊，这个方程我求它的根应该怎么求？那么，这是一个所谓方程求根的问题。当然，方程求根也可以考虑是方程组的问题，

那么我们主要是讲单个方程求根问题，但是第四个模型。那么，第二个模型的话呢？我们主要讨论的是这样，一个是。

常规分方程的初始的问题。常微分方程的初始的问题，那么这个问题我们在呃。高等数学里面是讲过常规方程，

我怎么求解那么我们这里的话呢？也是讲它的一个近似的解法。所谓的一个初始值问题，那就是我们考虑的是一阶的方程，它与边界点是无关的，

这考虑是一个初始值的问题。那么，对于边界问题，那是另外的问题，那这里呢？我们也不做介绍，是讲初始值问题，

怎么来进行求解？啊，怎样来进行求解？那么这是我们所给出一个最后一个模型。那么这个呢？在线性代数当中，

我们是求过的，那就是一个矩阵的特征值的问题。特征值特征向量，我们应该怎么求？

那我们知道学线性代数当中最重要的一环就是求特征值以及它对应的特征向量。因为特征值的问题，

我们是归结为求一个代数方程，也就是特征方程求根的问题，那么在我们已经刚才已经提到代数方程求解本身，

它具有一个。限制我们无法找出它的一个近距离，让你求它的特征值实际上是得不到的，所以我们要构造一类方法，

那就是如何来求矩阵的特征值的一个近似。第二个那么就是特征值问题，当中还有一个特征向量的问题，

特征向量怎么做？那是求一个代数方程组来进行求解的。是一个七次方程组的求解，通过它的一个。

是一个基础解析来得到的，对吧？那么我们现在高呃计算方法当中，我们如何来求它的一个特征向量？

那么这就是我们要构造的一些方法。所以我们在这门课程当中呢，主要是这样一部分内容，那这这部分内容要讲的就这部分内容，

因此我们可以看到。它要用到的知识，那就是一个高等数学与线性代数当中的内容。

下面是小编整理的数学高级计算方法教学课程目录：

龙贝格公式讲解教学视频部分截图：