唐五龙考研高数强化辅导讲义知识点汇总pdf(高等数学考研大纲)

以下是一份考研高数强化讲义的详细摘要大纲，包括常见的考点和练习题。

这些知识点和练习题覆盖了高等数学中的重要概念和技能，可以帮助考生准备高数部分的考试。

一、函数与极限

1.函数的概念与性质

定义、反函数、奇偶性、周期性、单调性、初等函数、映射关系

2.极限的概念与性质

定义、左右极限、无穷极限、单侧极限、夹逼定理、无穷小量、无穷大量、洛必达法则、极限存在准则、连续函数的性质

3.函数的连续性与间断点

定义、第一类间断点、第二类间断点、可去间断点、跳跃间断点、连续函数的性质

4.数列的极限

定义、单调有界数列定理、夹逼定理、无穷小量、无穷大量

二、导数与微分

1.导数的概念与性质

定义、导数的几何意义、可导函数与连续函数的关系、导数的四则运算、导数的中值定理、洛必达法则、高阶导数、隐函数求导

2.微分的概念与性质

定义、微分的几何意义、微分的四则运算、微分中值定理、泰勒公式

3.导数应用

函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点、最值问题、斜率与切线、极值问题的解法

三、积分与微积分基本定理

1.不定积分与定积分

定义、不定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法、有理函数积分法、定积分的概念、定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式、变限积分

2.微积分基本定理

第一型微积分基本定理、第二型微积分基本定理、定积分的计算、平均值定理、反常积分

3.积分应用

曲线长度、旋转体体积、曲面面积、质心、物理应用

四、常微分方程

1.常微分方程的基本概念

定义、初值问题、通解与特解、解的存在唯一性定理

2.一阶常微分方程

可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程

3.高阶常微分方程

常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、变系数线性齐次方程、欧拉方程

4.常微分方程的应用

生物学模型、物理学模型、经济学模型等实际问题的建模与求解

练习题：

求函数$f(x)=frac{x^3-3x}{x^2-1}$在$x=1$处的极限值。

求函数$f(x)=sqrt{1+x^2}$在$x=1$处的导数。

求函数$f(x)=frac{x^2}{x+1}$在区间$[1,2]$上的定积分。

求方程$y''+2y'+y=e^x$的通解。

某种细菌的数量满足微分方程$frac{dy}{dt}=ky(1000-y)$，其中$y(0)=100$，求该细菌在$t=100$时的数量。

以上练习题涵盖了高数强化课程中的常见考点和难点。考生可以通过练习这些题目，巩固和提高自己的数学能力。

此外，建议考生在复习过程中多做一些真题和模拟试题，以更好地了解考试的难度和形式，从而更好地备战考研。

高数强化课程主要分为四个部分，包括极限、导数、微积分应用和常微分方程。

在极限部分，考生需要了解极限的定义、极限存在的判定方法、无穷小量的概念和计算方法，

以及极限的运算法则等内容。在导数部分，考生需要掌握导数的定义、求导公式和基本性质、高阶导数和隐函数求导等知识点。

在微积分应用部分，考生需要了解定积分和不定积分的定义和基本性质、微积分基本定理、换元积分法、分部积分法等内容，

以及微积分在实际问题中的应用。在常微分方程部分，

考生需要掌握常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、变系数线性齐次方程、欧拉方程等内容，以及常微分方程在实际问题中的应用。

对于以上知识点，本文给出了一些典型的练习题，供考生巩固和提高自己的数学能力。

这些题目涵盖了高数强化课程中的常见考点和难点，考生可以通过练习这些题目，更好地备战考研。

高数强化课程是考研数学中的重要一环，是考生进一步提高数学素养的关键。

考生需要通过课堂学习和自主练习，逐渐掌握高数的基本知识和解题技巧，提高自己的数学水平。

一元函数积分学考试内容

原函数和不定积分的概念﹐不定积分的基本性质﹐基本积分公式﹐定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、

积分上限的函数及其导数﹑牛顿-菜布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。

有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分反常(广义）积分定积分的应用

考试要求

1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.

2掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.

3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.

4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.

5.理解反常积分的概念，了解反常积分收敛的比较判别法，会计算反常积分.

6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、

平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力，质心，形心等)及函数平均值.

多元函数微积分学考试内容

多元函数的概念―二元函数的几何意义﹑二元函数的的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质、

多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值﹐二重积分的概念、基本性质和计算

考试要求

1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，

会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.

5.理解二重积分的概念，了解二重积分的基本性质，了解二重积分的中值定理，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标）.

常微分方程考试内容

常微分方程的基本概念﹑变量可分离的微分方程﹑齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程、

线性微分方程解的性质及解的结构定理一二阶常系数齐次线性微分方程高于，

二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的，二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用

考试要求

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程

3.会用降阶法解下列形式的微分方程: y'= f(x), y" = f(x, y')和y"= f(y, y').

4.理解线性微分方程解的性质及解的结构.

5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.

6.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

7.会用微分方程解决一些简单的应用问题.

无穷级数

考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件、

几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、

收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质﹑简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式

考试要求

1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.

2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件.

3.掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用积分判别法

4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.

5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.

6.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛城的求法.

7.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

以下是小编整理的《考研高数强化辅导讲义》目录：

高等数学考研大纲

第一讲函数 极限  连续

第二讲导数与微分

第三讲微分中值定理及其导数的应用

第四讲︰不定积分

第五讲定积分

第六讲﹑定积分应用

第七讲多元函数微分学

第八讲二重积分

第九讲﹑常微分方程

第十讲无穷级数（数一、三)

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