余炳森考研数学线性代数考点强化视频课程(重点知识点总结)

线性代数是考研数学中不可或缺的一部分。在线性代数的考试中，需要掌握基本的概念、定理、证明方法和计算技巧。

本篇文章将围绕线性代数考试的重点难点，结合历年真题，提供详细的解题思路和方法，帮助考生快速掌握考点。

一、基本概念与定理

向量空间：定义、性质、基本子空间

矩阵：定义、性质、初等变换、矩阵的秩

线性方程组：定义、解的判定、解的结构、高斯消元法、矩阵的逆

线性变换：定义、性质、矩阵表示、特征值与特征向量、对角化

二、重要技巧与应用

矩阵的初等变换与矩阵的秩

线性方程组的高斯消元法与矩阵的逆

矩阵的特征值与特征向量

线性变换的矩阵表示与对角化

本文旨在帮助考生在考研数学线性代数考试中顺利通过，掌握基本概念与定理、重要技巧与应用，

并结合历年真题进行解析，希望能为广大考生提供帮助。

一、基本概念与定理

向量空间

向量空间是指一个非空集合V，其中定义了两种运算：向量的加法和数乘，满足以下八条性质：

（1）加法结合律：对于任意的u,v,w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。

（2）加法交换律：对于任意的u,v∈V，有u+v=v+u。

（3）存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对于任意的u∈V，有u+0=u。

（4）存在相反元：对于任意的u∈V，存在一个元素−u∈V，使得u+(−u)=0。

（5）数乘结合律：对于任意的a,b∈R和u∈V，有a(bu)=(ab)u。

（6）分配律1：对于任意的a∈R和u,v∈V，有a(u+v)=au+av。

（7）分配律2：对于任意的a,b∈R和u∈V，有(a+b)u=au+bu。

（8）数乘单位元：对于任意的u∈V，有1u=u。

基本子空间有：零子空间、行空间、列空间、左零化子空间、右零化子空间。

矩阵

矩阵是一个按照矩形排列的数表，其中每个数都称为一个元素。矩阵具有以下性质：

（1）矩阵的加法与数乘：

若A,B为同型矩阵，则有A+B和kA也是同型矩阵。

（2）矩阵的乘法：

若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的积C=AB为m×p矩阵。AB的第i行第j列元素为Ci,j=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj。

（3）初等变换：

矩阵的初等行（列）变换有三种：交换任意两行（列），用非零数乘某一行（列），将某一行（列）加上另一行（列）的k倍。初等变换不改变矩阵的秩。

（4）矩阵的秩：

矩阵A的秩指的是矩阵A的最大线性无关行（列）数，记作rank(A)。如果A的秩为r，

则A的行向量或列向量组成的集合中必存在一个包含r个向量的极大线性无关组。

线性方程组

线性方程组是指只包含线性方程的方程组，其中每个方程可以表示为一组2 / 2线性方程的形式，即a1x1+a2x2+⋯+anxn=b，其中a1,a2,⋯,an,b均为已知数，x1,x2,⋯,xn为未知数。

（1）线性方程组的解：

设Ax=b为一个线性方程组，其中A为一个m×n的系数矩阵，x和b分别为未知向量和常向量。

若存在一个向量x0使得Ax0=b，则称x0为方程组的一个解。方程组的解集合称为齐次方程组的解空间或非齐次方程组的解集。

（2）线性无关与线性相关：

如果一个向量组中不存在一组向量的线性组合能表示成另一个向量的线性组合，则称这个向量组是线性无关的，否则称它们是线性相关的。如

果向量组中存在一向量能表示成其余向量的线性组合，则称这个向量组是线性相关的。

（3）线性方程组的解的判定：

利用高斯消元法可以将矩阵A化为行最简形式，然后根据行最简形式求出线性方程组的解的个数以及解的特点。

二、特殊矩阵

对角矩阵

对角矩阵是指除对角线上的元素外，其它元素都为零的矩阵。对角矩阵具有以下性质：

（1）对角矩阵的乘法：

若A和B为同型的对角矩阵，则它们的积AB也是对角矩阵，且对角线上的元素分别为A和B对角线上的元素的乘积。

（2）对角矩阵的幂：

若A为n阶对角矩阵，则A的k次幂仍为n阶对角矩阵，且对角线上的元素为A对角线上的元素的k次幂。

上三角矩阵和下三角矩阵

上三角矩阵是指矩阵的下三角元素都为零的矩阵，下三角矩阵是指矩阵的上三角元素都为零的矩阵。上（下）三角矩阵的乘积仍为上（下）三角矩阵。

对称矩阵

对称矩阵是指矩阵的转置等于矩阵本身的矩阵，即A^T=A。对称矩阵具有以下性质：

（1）对称矩阵的特征值：

对称矩阵的特征值都是实数。

（2）对称矩阵的特征向量：

对称矩阵的特征向量可以取成两两正交的向量。

（3）对称矩阵的对角化：

对称矩阵可以对角化，即可以表示成正交矩阵和对角矩阵的乘积形式。

三、线性变换

线性变换的定义

线性变换是指从一个向量空间V到另一个向量空间W的一个映射T，它满足以下条件：

（1）T(u+v)=T(u)+T(v)，对任意u,v∈V。

（2）T(ku)=kT(u)，对任意k∈R和u∈V。

线性变换的矩阵表示

设T是从向量空间V到向量空间W的一个线性变换，B={b1,b2,⋯,bn}是V的一组有序基，C={c1,c2,⋯,cm}是W的一组有序基，记[T]B,C为T在B和C下的矩阵，则有：

（1）T(b1),T(b2),⋯,T(bn)是W的一组向量，[T(b1)]C,[T(b2)]C,⋯,[T(bn)]C是[T]B,C的列向量。

（2）对于任意u∈V，设[u]B是u在B下的坐标向量，则[T(u)]C=[T]B,C[u]B。

线性变换的基本性质

线性变换具有以下性质：

（1）线性变换的核和像：

线性变换T的核是指所有满足T(u)=0的向量组成的集合，记为ker(T)，线性变换T的像是指所有可以表示为T(u)的向量组成的集合，记为im(T)。

（2）线性变换的秩：

线性变换T的秩是指T的像空间的维数，记为rank(T)。

（3）线性变换的零度：

线性变换T的零度是指T的核空间的维数，记为nullity(T)。

（4）线性变换的矩阵秩：

线性变换T的矩阵秩等于T的秩。

四、特征值和特征向量

特征值和特征向量的定义

设A是一个n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称λ为A的一个特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量的计算

设A是一个n阶方阵，λ为A的一个特征值，则有：

（1）det(A-λI)=0，其中I为n

阶单位矩阵。

（2）解方程组(A-λI)x=0，求解出所有非零解，这些非零解就是A的对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量的性质

特征值和特征向量具有以下性质：

（1）对于矩阵A的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。

（2）如果一个n阶方阵A有n个不同的特征值，则A可以对角化。

（3）如果A是一个对称矩阵，则A的特征向量可以取成两两正交的向量。

五、矩阵的运算

矩阵的加法和数乘

设A=[aij]，B=[bij]是两个m×n的矩阵，k是一个数，则有：

（1）A+B=[aij+bij]，是m×n的矩阵。

（2）kA=[kaij]，是m×n的矩阵。

矩阵的乘法

设A=[aij]是一个m×n的矩阵，B=[bij]是一个n×p的矩阵，则它们的乘积C=AB=[cij]是一个m×p的矩阵，其中：

cij=a1ib1j+a2ib2j+⋯+an*bij=∑k=1nan(i,k)bkj

其中，an(i,k)表示A的第i行和B的第k列对应元素的乘积。

矩阵的转置和迹

设A=[aij]是一个m×n的矩阵，则它的转置矩阵AT=[aji]是一个n×m的矩阵。

设A=[aij]是一个n阶方阵，则它的迹tr(A)=∑i=1naii是A的主对角线元素之和。

六、矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换有三种，分别是交换矩阵的两行或两列，用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列，以及将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的k倍。

初等变换的作用

初等变换不改变矩阵的秩和行列式的值，但可以使矩阵变得更简单，从而更容易求解线性方程组或计算矩阵的特征值和特征向量。

七、线性方程组的求解

线性方程组的求解方法

线性方程组的求解可以通过消元法、高斯-约旦消元法、矩阵的逆等方法来实现。

其中，消元法是最基本的求解方法，可以将线性方程组化为简化的阶梯形矩阵形式，进而求得方程组的解。

消元法的步骤

设有n个未知数和n个方程构成的线性方程组，其增广矩阵为(A|b)，则消元法的步骤如下：

（1）高斯消元：将增广矩阵化为阶梯形矩阵，即将矩阵的第1列至第n-1列的元素通过加减变为0，使得矩阵满足下列形式：

[ a11 a12 a13 ... a1(n-1) a1n | b1 ]

[ 0 a22 a23 ... a2(n-1) a2n | b2 ]

[ 0 0 a33 ... a3(n-1) a3n | b3 ]

[ ... ... ... ... ... ... | ... ]

[ 0 0 0 ... ann-1 ann | bn ]

（2）回带求解：从矩阵的最后一行开始，依次求解出未知数的值，即

anx_n = bn - (an,n-1)x_n-1 - ... - (an,1)x_1

...

a2x_2 = b2 - (a2,1)x_1

a1x_1 = b1

初等矩阵的作用

初等矩阵是指将单位矩阵的某些行（或列）进行初等变换所得到的矩阵。初等矩阵的逆矩阵也是一个初等矩阵。

通过使用初等矩阵，可以将矩阵的行（或列）化为简单的形式，从而更容易进行消元法求解线性方程组。

八、广义逆矩阵

伪逆矩阵

对于一个不可逆矩阵，可以定义它的伪逆矩阵。设A是一个m×n的矩阵，它的伪逆矩阵是A的转置矩阵AT与A的乘积与A的逆矩阵(A^(-1))之积，即

A^+ = (A^T A)^(-1) A^T

广义逆矩阵

对于一个非方阵的矩阵A，也可以定义它的广义逆矩阵。设A是一个m×n的矩阵，它的广义逆矩阵是一个n×m的矩阵A^+，满足下列条件：

AA= A，即A^+A是一个投影矩阵；

A^+A的秩等于A的秩；

AA^+是一个投影矩阵。

广义逆矩阵在矩阵求解、线性回归、最小二乘法等问题中有广泛应用。

九、特征值和特征向量

特征值和特征向量的定义

对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为一个常数，则称k为A的一个特征值，x为对应的特征向量。

特征值和特征向量的求解

特征值和特征向量的求解可以通过求解A-kI的零空间来实现，其中I为n阶单位矩阵，k为特征值。求解出A-kI的零空间后，其中的向量即为对应的特征向量。

特征值和特征向量的性质

对于一个n阶矩阵A，其特征值和特征向量具有以下性质：

A的n个特征值的和等于A的主对角线元素之和，即λ1+λ2+...+λn=tr(A)；

A的n个特征值的积等于A的行列式，即λ1λ2...λn=det(A)；

如果A是一个实对称矩阵，则A的特征向量是正交的；

如果A是一个正定矩阵，则A的特征值均为正数。

特征值和特征向量在很多领域中都有重要的应用，例如图像处理、信号处理、物理模拟等。

十、奇异值分解

奇异值分解的定义

对于一个m×n的矩阵A，它的奇异值分解（SVD）是指将A分解为三个矩阵的乘积的形式，即

A = UΣV^T

其中，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V是一个n×n的正交矩阵。

奇异值分解的性质

奇异值分解有以下性质：

矩阵A的秩等于它的奇异值个数；

奇异值可以按照从大到小的顺序排列，因此可以用较少的奇异值来近似表示矩阵A，从而实现数据压缩；

奇异值分解可以用于矩阵的降维和去噪等问题。

奇异值分解在很多领域中都有广泛的应用，例如数据挖掘、图像处理、推荐系统等。

本文对线性代数的一些重要概念和常见应用进行了简要介绍，包括向量、矩阵、行列式、矩阵的逆、矩阵的秩、特征值和特征向量、奇异值分解等内容。

这些概念和方法在很多领域中都有广泛应用，例如机器学习、图像处理、信号处理等。

对于考研数学的学习，熟练掌握这些概念和方法对于提高数学水平、提高考研成绩有着重要作用。

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强化手搞：

线代例题解析视频截图：