一元二次方程不仅是学生们迈向更高数学思维的重要桥梁，更是培养逻辑推理能力的关键环节。通过精心设计的教学视频，教师可以将复杂的概念以生动形象的方式呈现，使学生在探索方程根的过程中，体会到数学的魅力与实用性。掌握一元二次方程的解法，不仅帮助学生应对考试挑战，更为他们未来的学习打下坚实基础。
一、内容与内容解析
（一）内容
一元二次方程的含义，以及它的一般形式。
（二）内容解析
一元二次方程是基于一元一次方程的“次”的扩展，这不仅满足解决多种实际问题的需求，还为学生提供了运用勾股定理、相似形等知识的工具，是二次函数学习的重要基础。
通过对多种实际问题的探讨，引导学生去观察这些方程所展现的共性，从而总结出一元二次方程的定义及其标准形式。在这一过程中，学生能够通过归纳来识别具体方程的共同特点，进而形成一元二次方程的概念，反映了代数学的研究方法；而一元二次方程的一般形式ax² + bx + c = 0也是基于“元”（未知数的数量）、“次数”和“项数”等维度进行归纳的结果；其中a ≠ 0的条件则确保了方程为“二次”，为理解一元二次方程的含义提供了有力的支持。
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1. 感知一元二次方程作为表达实际问题的重要数学模型，初步掌握其概念；
2. 理解一元二次方程的一般形式，能够将一元二次方程转化为一般形式。
（二）目标解析
1. 通过构建一元方程来解决相关的实际问题，让学生知道未知数的相乘会导致方程次数的提升，从而引入一元二次方程。学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，体会到一元二次方程作为数学模型的重要性，增强学习的必要性；
2. 将不同形式的一元二次方程整合为一般形式，帮助学生从数学符号的角度理解模型的简约和必要性，通过对“二次”条件a ≠ 0的详细说明，进一步明确一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成标准形式，准确识别方程中的各个系数，并能判断简单符号系数方程是否为一元二次方程。
三、教学问题诊断分析
一元二次方程是学生在学习中接触的第四类方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，然后扩展到二元及三元一次方程，接下来学习了二元一次方程组，初二的分式教学使学生对实际问题的表述从整式延伸到有理式，分式方程的出现则是第一次接触“次”的提升。学生可能会对为何某些背景情境下的方程是二次的产生疑问。在教学过程中，需直面学生的疑问，引导他们自我解释，这样才能避免单纯的“灌输”，凸显知识存在的必要性，增强他们的学习信心。
培养建模思维，提高数学符号的运用能力，使学生自主总结一元二次方程的概念及其一般形式，对初三学生而言尤为重要。
本节的教学重点应放在一元二次方程概念的形成过程上，而不是草率地给出定义后进行重复练习，需在概念理解上深入探讨。
本节的教学难点是理解一元二次方程的定义。
四、教学过程设计
（一）创设情境，引入新知
教师展示教科书章节前的插图，要求学生阅读章前问题并回答：
问题1. 这个方程属于我们学过的某一类方程吗？
师生活动：学生整理已学过的方程类型，复习方程的概念，及“元”与“次”的定义，观察新方程，分析此方程的“元”与“次”，尝试为新方程命名。
【设计意图】帮助学生意识到一元二次方程是描述某些实际问题的数学模型，以增强学习的积极性，并在已有知识框架中合理构建新知识。
问题2. 这样的方程在其他实际问题中是否还存在？你能再举一个例子吗？
师生活动：学生思考二次项产生的原因，可能通过矩形面积的实例设计情境。
【设计意图】鼓励学生主动探求一元二次方程产生的根源，提升他们对该概念的理解。部分学生能够独立构造问题并列出方程，另一些学生则可以运用同学提供的情境进行方程的列出，或阅读课本中的实际问题。
（二）拓宽情境，概括概念
给出课本中的两个实际问题，要求学生设未知数，建立方程。
问题1. 如图21.1-1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm。在其四个角上各切去一个相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm²，那么铁皮的各角应切去多大的正方形？
个队参赛，则每个队要与其他____个队各进行一场比赛，全部比赛共有___场。
由此，我们可以列出方程______________，化简得________________。
问题3. 这些方程是几元几次方程？
师生活动：学生将实际问题转化为数学符号，体会数值之间运算关系，寻找等量关系，学习建模。将所列方程化简整理，判断出方程的次数。
【设计意图】在建模过程中，不仅提升学生的数学思维能力，也使他们更加清晰地理解二次项的产生，加深对一元二次方程的理解。让学生回答方程的“元”与“次”，旨在帮助他们体会将方程统一为一般形式的必要性，并为理解概念打基础，减轻教学难度。
问题4. 这些方程是什么方程？
师生活动：观察课堂上总结的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并概括出一元二次方程的一般形式。
1. 一元二次方程的定义：
等号两边均为整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的方程称为一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式是
其中a为二次项系数;
激发学生的思维，鼓励从不同的角度和形式更深入地理解同一概念，使不同的学生在这一过程中各自获得不同的收获，实现分层教学的效果。
问题6. 下列方程中哪一个是一元二次方程？
例1. 下列方程中哪些是一元二次方程？
(1)
;
(3)
;
(5)
.
答案(2)(5)(6).
师生活动：应用概念进行辨析，方程(3)和(4)的差异可能引发争议，(3)帮助学生明确一元二次方程是整式方程，(4)让学生体会概括为一般形式的必要性，加深对a≠0条件的理解。
【设计意图】补充学生所列正反例中的不足，追问：有二次项的方程就一定是一元二次方程吗？帮助学生巩固概念，深化对一元和二次的理解。
问题7. 请指出下列方程的二次项、一次项和常数项及其系数。
例2. 将下列方程转化为一般形式，并指出其二次项、一次项及常数项和系数：
(1)
师生活动：将方程
移项，合并同类项得到：
，其中二次项系数为3；一次项为
，常数项为
，过程略。
例3. 关于x的方程
时此为一元二次方程；
时此为一元一次方程。
【设计意图】在面对形式较复杂的方程时，通过辨析方程的元、次、项来把握方程的本质，深化理解，减少对一元二次方程概念的死记。
（四）巩固概念，学以致用
教科书第4页： 练习
【设计意图】通过巩固性练习，检验学生对一元二次方程概念的掌握情况。
（五）归纳反思提升
请学生总结今天的课程内容，比较之前所学的其他方程，谈谈对一元二次方程的认识，并反思学习过程中的常见错误。
（六）布置作业：教科书习题21.1
复习巩固：第1，2，3题。
五、目标检测设计
1. 下列方程中哪些是有关x的一元二次方程：
(1)
;
(3)
.
【设计意图】考查学生对一元二次方程概念的理解。
2. 关于
是一元二次方程，则( ).
A.
C.
【设计意图】考查
的一元二次方程。